记得1954年秋天，袁萌在江苏南京第十中学学习生物学、达尔文的进化论，懂得了优胜劣汰的道理。

希尔伯特几何基础就是数学发展史的进化结果，我们相信在未来50年的时间内，希尔伯特几何基础的创新思想不会被淘汰。

为此，我们将该书的有关章节内容（全文）刊登在我们的网站上。《希尔伯特几何基础》

内容如下：

几何基础序言

伟大的德国数学家希尔伯特为其代表作“几何基础”写的序言如下： 德文第七版的俄译本序言 • Foreword • 希尔伯特曾有一个学生，写了一篇论文来证明黎曼猜想，尽管 其中有个无法挽回的错误，希尔伯特还是被深深地吸引了。第二年， 这个学生不知道怎么回事死了，希尔伯特要求在葬礼上做一个演说。 那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们悲痛不已。希尔伯特开始致辞， 他首先指出：“这样的天才这么早离开我们， 实在是让人痛惜呀！” 众人同感，哭得越来越凶。接下来，希尔伯特说：“尽管这个学生的 证明有错，但是如果按照这条路走下去，应该有可能证明黎曼猜想。” 再接下来，希尔伯特冒着雨充满激情地讲道：“事实上，让我们考虑 一个单变量的复函数”众人皆倒。 德文第七版的俄译本序言 殛在 希尔伯特的《几何基础》和它在本问题 发展的历史中的地位* ；- .K.拉舍夫斯基 作为物理学的几何学 当我们学习几何学的时候，一开始——如同在中学里学习几何学时那样——就在我们的认识中产生了 独特的思维世界，它奇特地既是现实的又是幻想的。事实上，我们关于直线、平面、几何体（如球）等的论 述，是在给它们以完全确定的性质以后才进行的。然而具有作为我们研究对象的那种形状的东西，究竟在哪 里和在什么意义下存在着呢？我们岂不是都知道，不论我们如何地磨（譬如说）一块金属板的表面，由于工 具和动作本身的不可避免的偏差，我们永远不能把它磨成“理想平面”的形状。更何况不仅无法达到理想地 平的形状，而且根据物质的原子结构，甚至还不可能无限制地接近它哩！事实上，当我们加强所要求的精确 度时，金属板就将被分解成各别的原子，以致一般地所谓它的表面都无意义了。 而直线又是怎么样呢？或许可以认为光线是沿着理想的直线而传播的吧？然而量子力学告诉我们，光 线是利用各别的介质——量子——而传播的，至于说到这种量子在运动时所走的道路，一般地也没有意义。 那么，我们在几何学里究竟研究些什么呢？难道只研究与物质世界格格不入的幻想、我们想象力的创 造吗？可是从日常的经验和从技术上的实验，我们就能坚定地知道，对这些幻想的对象所推导出来的法则和 规律，都以不可克服的力量服从于物质的自然界；以致进行新的设计的工程师，当遭受失败时，可以怀疑其 任何的假设，而决不会怀疑诸如关于角柱体积的公式。 这些几何形象，看来好像是无足轻重的、非物质的，而同时却以不可克服的力量来刻画物质世界的，又 好像可以认为（如同唯心主义哲学经常如此说的）是上帝按其自己的意象创造的，究竟是些什么呢？ 唯物主义的宇宙观帮助我们来回答这个问题。让我们特地从粗糙的例子开始。假设在我们面前有筑在 一块土地边上的一道围墙。如果我们要计算这块土地的面积，来拟定其规划，则在我们几何的计算里就将画 出一条封闭的曲线来代替围墙，而用它所分隔成的平面片段来代替土地。这种使用几何概念来暗中顶替物质 对象，其实质又何在呢？ 问题是：不论我们是用木头还是石头来造围墙，不论我们造多宽多高，不论我们是否向旁边移动了这么 一厘米，等等，这块土地实际上并不因之而有所改变。由于我们所关心的只是土地本身，至于沿其边界究竟 造了些什么，实际上并不起任何作用，尽可以把所有这些都撇开不管。因此，我们抛弃了作为物体的围墙的、 在当前情况下对我们不重要的绝大多数的性质。围墙对我们重要的那些性质——与其长度方面的延伸性有关 的性质，才属于我们考虑之列，这些性质也就正是曲线在几何意义上的性质。有同样事实的各种各样的例子 是不胜枚举的：当我们讨论绳子、飞驰的炮弹的路线等时，则在一定的精确程度下，我们所必须关心的也只 是它们的那样一些性质，那就是我们称为几何曲线的性质。 总之，当我们研究几何曲线时，我们同时也就研究了土地的围墙，一定长度——与粗细相比——的绳子， 以及飞驰的炮弹的路线，然而对所有这些现象而言，我们并不在各方面都保留它们性质的多样性，因为它们 德文第七版的俄译本序言 殛在 并不具有最大的精确性，而只是就在当前的情况下对我们重要的一维延伸性方面来加以选择，并且也只具有 实用上必要的精确程度。于是我们叫做几何曲线的性质的这些对象的共同性质就显得突出了。这样，假如我 们说曲线没有宽度，那只不过是简短地表明，围墙的宽度实际上并不影响其所包围的土地，绳子的横截面的 大小与其长度相比可以略去不计，等等而已。 所有别的几何概念和命题也都有类似的意义。它们全都反映了物质对象的性质和物质世界的法则。它们 的“理想的”特性只是表明了在物体性质的已知联系中非主要的性质被抛弃（抽象），特别地是它们只以一 定的精确程度而被考虑。这种抽象可以用来清楚地揭露物体的共同而又深藏的性质，我们把它们叫做延伸的 性质而且在几何学里加以研究。几何法则之所以为自然界所必须，就由于它们是从自然界抽象出来的缘故。 这样一来，反映物质现实的几何真理，以简化了的和公式化了的形状，近似地重现了物质现实。正由于 抛弃了无穷多的复杂事实，才产生了几何理论的如此使人信服的严整性和合理性。而假如是如此的话，则很 自然地，就不能强求几何学［暂时谈到的总限于欧几里得（Euclid）几何学]无限制地恰当于研究物质世界： 当这种研究的精确性一超过某种限度时，几何学由于其近似地反映现实的本质，就失去了作用。 为了使它重新成为有用的，我们必须依据新的实验数据使它成为更精确的，我们必须回过来捡起在抽象 过程中弃之于途的那些东西。 然而在我们建立几何学时，物质现实，究竟有哪些较为显眼的方面，被抛弃掉了呢？这首先就是物质在 一定的时间内所进行的运动。很自然地，为了在几何学里避免过分的抽象，使它接近于物质现实，我们应该 重新考虑物质运动的过程，而这就说明，应该把几何学放在与力学结合成的有机整体中来讨论。”纯粹的” 几何学消失了。 以上所说的种种不只属于理论上的探讨，20 世纪内科学的历史发展正就是沿着这条道路前进的。狭义 相对论（1905）把空间和时间的延伸性结合成一个不可分割的整体，而广义相对论（1916）更把几何学和关 于物质的分布和运动的普遍学说统一在一个学科之中。因此，从到现在为止我们关于几何学所说的那种观点 看来，它是物理学的一部分，因而就应该与在实验基础上的物理学一起生长和发展。 然而在几何学里还有别的、数学的方面，那是我们直到现在为止有意地置之不理的。而这方面目前对于 我们是最重要的，因为它正是本书所要讲述的。

袁萌

2022年02月11日